1. Розв’язування задачі про оптимальні криві скачування з використанням рівняння Ейлера з розширеними можливостями

Анотація: Розглянуто результати досліджень, метою яких є розширення можливостей рівняння Ейлера для розв’язання задачі про брахістохрону – визначення кривої найшвидшого скочування. Відзначені дві обставини: перший інтеграл рівняння Ейлера не містить в явному вигляді частинної похідної по y від підінтегральної функції; при виведенні класичного рівняння Ейлера інтегрується частинами тільки другий член підінтегральної функції. Це дозволило сформулювати задачу визначення нових умов екстремальності функціонала. Прийнято, що підінтегральна функція першої варіації функціонала дорівнює нулю. З урахуванням цього положення та деяких інших допущень побудовані процедури одночасного використання рівнянь Ейлера та його аналога, неінваріантного відповідно системи координат. З використанням цих рівнянь розв’язано задачу про брахістохрону: побудовані криві, які відповідають умовам оптимальності слабкого мінімуму. Проведено числові оцінювання порівняння часу скочування матеріальної точки по запропонованих кривих і класичних екстремалях. Показано, що використання запропонованих кривих забезпечує менший час скочування, ніж за використання класичних екстремалей.