Анотація: Розглянуто результати досліджень, метою яких є розширення можливостей рівняння Ейлера для розв’язання задачі про брахістохрону – визначення кривої найшвидшого скочування. Відзначені дві обставини: перший інтеграл рівняння Ейлера не містить в явному вигляді частинної похідної по y від підінтегральної функції; при виведенні класичного рівняння Ейлера інтегрується частинами тільки другий член підінтегральної функції. Це дозволило сформулювати задачу визначення нових умов екстремальності функціонала. Прийнято, що підінтегральна функція першої варіації функціонала дорівнює нулю. З урахуванням цього положення та деяких інших допущень побудовані процедури одночасного використання рівнянь Ейлера та його аналога, неінваріантного відповідно системи координат. З використанням цих рівнянь розв’язано задачу про брахістохрону: побудовані криві, які відповідають умовам оптимальності слабкого мінімуму. Проведено числові оцінювання порівняння часу скочування матеріальної точки по запропонованих кривих і класичних екстремалях. Показано, що використання запропонованих кривих забезпечує менший час скочування, ніж за використання класичних екстремалей.

Анотація: Метою статті є розроблення модифікованого варіаційного методу визначення екстремалей у задачах пошуку оптимальних рішень. Метод розроблено з використанням результатів досліджень першої варіації функціонала з автономною підінтегральною функцією для задачі із закріпленими кінцями. Введено припущення про ненульові значення варіацій функції в межових точках. Показано, що на час використання цього припущення та введення деяких інших припущень і обмежень можна розширити клас припустимих функцій, серед яких слід шукати екстремальні криві. За такого розширення для побудови однієї екстремалі необхідно використовувати дві умови екстремальності, однією з яких є рівняння Ейлера. Для їх забезпечення необхідне виконання постійності частинної похідної від підінтегральної функції за шуканою змінною у кожній точці даного відрізка. Нова умова екстремальності на відміну від рівняння Ейлера неінваріантна відносно системи координат. Використання цієї властивості дозволяє за поданням другої варіації функціонала в параметричному вигляді побудувати рішення, що задовольняють необхідні та достатні умови локального мінімуму (максимуму). Зазначено, що запропонований метод є першим кроком у розробленні нового підходу до вирішення багаторозмірних варіаційних задач. Використання останнього дозволить отримувати нові рішення різноманітних задач технічної механіки, таких, наприклад, як задачі визначення оптимальних параметрів траєкторій ракет-носіїв на етапі проектування та розробляння технічних пропозицій, вибору оптимальних режимів польоту й інш. Працездатність запропонованого методу продемонстровано на прикладі розв’язання відомої задачі про брахістохрону – визначення кривої найшвидшого скочування. З використанням методу побудовані дві криві, що задовольняють необхідні та достатні умови оптимальності. Наведено результати порівняння часу скочування матеріальної точки по запропонованих кривих і скочування по класичних екстремалях. Показано, що час скочування по запропонованих кривих менший, ніж під час скочування по класичних екстремалях.